Probability and Chi-Square Test in Genetics | GPB 211 Lecture 06 Notes (Hindi & English)

इस व्याख्यान के विस्तृत अध्ययन के पश्चात् विद्यार्थी निम्नलिखित सांख्यिकीय-आनुवंशिक (Biometrical & Statistical Genetics) अवधारणाओं और गणनाओं में पारंगत होंगे:

ग्रेगर जोहान मेंडल की अभूतपूर्व सफलता का सबसे बड़ा रहस्य यह था कि उन्होंने मटर के संकरण से प्राप्त संततियों का विश्लेषण प्रायिकता के गणितीय सिद्धांतों (Mathematical Laws of Probability) के आधार पर किया। जब एक विषमयुग्मजी पौधे ($Tt$) में अर्धसूत्री विभाजन द्वारा युग्मक बनते हैं, तो किसी युग्मक में प्रभावी एलील ($T$) जाएगा या अप्रभावी एलील ($t$), यह पूर्णतः एक यादृच्छिक या संयोग की घटना (Random / Chance event) होती है—ठीक वैसे ही जैसे एक निष्पक्ष सिक्के को उछालने पर चित (Head) या पट (Tail) का आना। इसी प्रकार निषेचन के समय कौन-सा परागकण किस अंड कोशिका से संलयित होगा, यह भी संयोग पर निर्भर करता है।

प्रायिकता के मूलभूत गुणधर्म (Fundamental Properties of Probability)

• प्रायिकता की परास (Range of Probability): किसी भी घटना की प्रायिकता का मान सदैव शून्य ($0$) से एक ($1$) के मध्य ($0 \le P \le 1$) होता है। यह कभी भी ऋणात्मक या $1$ से अधिक नहीं हो सकता।
• असंभव घटना (Impossible Event, $P = 0$): यदि कोई घटना घटित ही नहीं हो सकती, तो उसकी प्रायिकता $0$ होती है। आनुवंशिक उदाहरण: दो शुद्ध बौने मटर के पौधों ($tt \times tt$) के संकरण से लंबे पौधे ($T\_$) उत्पन्न होने की प्रायिकता $P = 0$ है (उत्परिवर्तन को छोड़कर)।
• निश्चित घटना (Certain / Sure Event, $P = 1$): यदि किसी घटना का घटित होना $100\%$ निश्चित है, तो उसकी प्रायिकता $1$ होती है। आनुवंशिक उदाहरण: समयुग्मजी लंबे पौधे ($TT$) द्वारा $T$ युग्मक बनाने की प्रायिकता $P(T) = 1$ है।
• पूरक घटनाएँ (Complementary Events, $p + q = 1$): यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता $p$ है और उसके घटित न होने की प्रायिकता $q$ है, तो सदैव $p + q = 1$ अर्थात् $q = 1 – p$ होता है। उदाहरणार्थ, एकसंकर $\text{F}_2$ ($Tt \times Tt$) में लंबे पौधे आने की प्रायिकता $p = \frac{3}{4}$ तथा लंबे न आने (बौने आने) की प्रायिकता $q = 1 – \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ होती है।

आनुवंशिक समस्याओं को हल करने से पूर्व घटनाओं की दो श्रेणियों को समझना आवश्यक है: (1) स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events): जब एक घटना के घटित होने का प्रभाव दूसरी घटना के घटित होने पर नहीं पड़ता (जैसे—प्रथम संतान का लड़का या लड़की होना दूसरी संतान के लिंग को प्रभावित नहीं करता; या द्विसंकर में बीज के आकार का पृथक्करण बीज के रंग को प्रभावित नहीं करता)। (2) परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually Exclusive Events): जब दो घटनाएँ एक ही समय में एक साथ घटित नहीं हो सकतीं—अर्थात् एक का होना दूसरे के होने को रोक देता है (जैसे—एक ही बीज एक साथ गोल और झुर्रीदार दोनों नहीं हो सकता)।

1.1 प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Rule or Product Rule — ‘AND’ Rule)

• पहचान संकेत शब्द (Keyword): प्रश्न में “तथा / और” (AND / Both / Together) शब्द आता है।
• आनुवंशिक उदाहरण 1 (पनेट वर्ग का आधार): $Tt \times Tt$ संकरण में नर युग्मक के $t$ होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है और मादा युग्मक के भी $t$ होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है। अतः निषेचन में दोनों $t$ युग्मकों के एक साथ मिलकर बौना पौधा ($tt$) बनाने की प्रायिकता $= P(t \text{ नर}) \times P(t \text{ मादा}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$।
• आनुवंशिक उदाहरण 2 (द्विसंकर संकरण): $YyRr \times YyRr$ संकरण में पीला बीज ($Y\_$) आने की प्रायिकता $\frac{3}{4}$ है और गोल बीज ($R\_$) आने की प्रायिकता भी $\frac{3}{4}$ है। चूँकि दोनों लक्षण स्वतंत्र हैं, अतः एक ही बीज के पीले और गोल ($Y\_R\_$) दोनों होने की प्रायिकता $= \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$। इसी प्रकार हरे और झुर्रीदार ($yyrr$) होने की प्रायिकता $= \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$।

1.2 प्रायिकता का योग नियम (Addition Rule or Sum Rule — ‘OR’ Rule)

• पहचान संकेत शब्द (Keyword): प्रश्न में “अथवा / या” (OR / Either…or) शब्द आता है।
• आनुवंशिक उदाहरण 1: एकसंकर संकरण ($Tt \times Tt$) की $\text{F}_2$ पीढ़ी में $TT$ आने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$, $Tt$ की $\frac{2}{4}$ तथा $tt$ की $\frac{1}{4}$ है। यदि पूछा जाए कि यादृच्छिक रूप से चुने गए पौधे के लंबे होने (अर्थात् या तो $TT$ या $Tt$ होने) की प्रायिकता क्या है? तो योग नियम से: $P(\text{Tall}) = P(TT) + P(Tt) = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$।
• आनुवंशिक उदाहरण 2: द्विसंकर $\text{F}_2$ ($YyRr \times YyRr$) में एक पौधे के या तो पीले-झुर्रीदार ($Y\_rr = \frac{3}{16}$) अथवा हरे-गोल ($yyR\_ = \frac{3}{16}$) (अर्थात् पुनर्योजी लक्षणप्ररूप) होने की प्रायिकता $= \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।

1.3 द्विपद प्रसरण एवं बहु-संकर शाखित रेखा विधि (Binomial Expansion & Forked-Line Method)

जब हम किसी परिवार की $n$ संतानों या किसी फली के $n$ बीजों में बिना किसी विशिष्ट जन्म-क्रम (Unordered combination) के दो वैकल्पिक लक्षणों (जैसे—$s$ लंबे पौधे और $t$ बौने पौधे, जहाँ $s + t = n$) के आने की प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं, तो गुणन और योग नियम को मिलाकर द्विपद प्रमेय (Binomial Expansion of $(p + q)^n$) का उपयोग किया जाता है:

पास्कल का त्रिभुज (Pascal’s Triangle for Binomial Coefficients): द्विपद प्रसार $(p+q)^n$ में गुणांकों ($\frac{n!}{s!t!}$) को सीधे पास्कल त्रिभुज से लिखा जा सकता है:
• $n=1$: $1 : 1$  →  $(p + q)$
• $n=2$: $1 : 2 : 1$  →  $p^2 + 2pq + q^2$
• $n=3$: $1 : 3 : 3 : 1$  →  $p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3$
• $n=4$: $1 : 4 : 6 : 4 : 1$  →  $p^4 + 4p^3q + 6p^2q^2 + 4pq^3 + q^4$

शाखित रेखा विधि (Forked-Line / Branch Diagram Method): जब तीन या अधिक जीनों (त्रिसंकर $AaBbCc \times AaBbCc$, जहाँ पनेट वर्ग में $64$ खाने बनते हैं) की किसी विशिष्ट जीनप्ररूप या लक्षणप्ररूप की प्रायिकता निकालनी हो, तो पनेट वर्ग बनाने के बजाय प्रत्येक जीन जोड़े को अलग-अलग एकसंकर मानते हुए गुणन नियम लागू करते हैं। उदाहरणार्थ, $AaBbCc \times AaBbCc$ से $AaBbcc$ जीनप्ररूप प्राप्त होने की प्रायिकता:
• $Aa \times Aa \rightarrow P(Aa) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• $Bb \times Bb \rightarrow P(Bb) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• $Cc \times Cc \rightarrow P(cc) = \frac{1}{4}$
अतः संयुक्त प्रायिकता $P(AaBbcc) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} =$ $\frac{1}{16}$।

2.1 ऐतिहासिक पृष्ठभूमि एवं आवश्यकता (Why do we need the $\chi^2$ Test?)

जब हम खेत या प्रयोगशाला में एकसंकर संकरण की $\text{F}_2$ पीढ़ी उगाते हैं, तो सैद्धांतिक रूप से हमें $3:1$ का अनुपात मिलना चाहिए (जैसे 100 पौधों में ठीक 75 लंबे और 25 बौने)। परंतु वास्तविक व्यवहार में संयोगवश (Chance sampling fluctuation) हमें 75 और 25 के स्थान पर 72 लंबे और 28 बौने या 68 लंबे और 32 बौने पौधे मिल सकते हैं। अब आनुवंशिकीविद् के सामने यह प्रश्न उठता है कि “क्या प्रेक्षित संख्या (Observed — $O$) और सैद्धांतिक प्रत्याशित संख्या (Expected — $E$) के बीच का यह अंतर ($O – E$) केवल संयोगवश (Due to chance alone) है, या हमारी आनुवंशिक परिकल्पना ($3:1$ अनुपात) ही गलत है (जैसे सहलग्नता या घातक जीन के कारण)?”

इस प्रश्न का वस्तुनिष्ठ सांख्यिकीय उत्तर देने के लिए प्रसिद्ध ब्रिटिश गणितज्ञ एवं सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन (Karl Pearson) ने वर्ष 1900 में (उसी वर्ष जब मेंडल के नियमों की पुनरखोज हुई) काई-स्क्वायर ($\chi^2$) परीक्षण का प्रतिपादन किया। आनुवंशिक अनुपातों की जाँच में प्रयुक्त इस परीक्षण को ‘समंजन सुष्ठुता का परीक्षण’ (Test for Goodness of Fit) कहते हैं। यह एक अप्राचलिक परीक्षण (Non-parametric test) है जो प्रतिशत या अनुपातों पर नहीं, बल्कि वास्तविक प्रेक्षित आवृत्तियों (Actual observed counts/numbers) पर लागू किया जाता है।

2.2 शून्य परिकल्पना ($H_0$), स्वातंत्र्य कोटि ($df$), सार्थकता स्तर ($\alpha$) एवं निर्णय नियम

1. शून्य परिकल्पना (Null Hypothesis — $H_0$): परीक्षण के प्रारंभ में यह माना जाता है कि प्रेक्षित मान ($O$) और प्रत्याशित मान ($E$) में कोई वास्तविक अंतर नहीं है ($O = E$), अर्थात् आँकड़े प्रस्तावित मेंडेलियन अनुपात (जैसे $3:1$ या $9:3:3:1$) का पूर्णतः पालन करते हैं और जो थोड़ा-बहुत विचलन दिख रहा है वह केवल संयोगवश (Sampling error) है।
2. स्वातंत्र्य कोटि (Degrees of Freedom — $df$ या $\nu$): किसी प्रेक्षण समूह में उन स्वतंत्र वर्गों की संख्या जिन्हें कुल योग ($N$) निश्चित रहने पर स्वतंत्रतापूर्वक बदला जा सकता है, स्वातंत्र्य कोटि कहलाती है। समंजन सुष्ठुता परीक्षण में स्वातंत्र्य कोटि सदैव कुल वर्गों की संख्या ($n$) से एक कम होती है:
   📌 विभिन्न संकरणों के लिए स्वातंत्र्य कोटि ($df = n – 1$):
   • एकसंकर $\text{F}_2$ ($3 : 1$) या एकसंकर टेस्टक्रॉस ($1 : 1$): वर्गों की संख्या $n = 2 \implies df = 2 – 1 =$ $1$
   • अपूर्ण प्रभाविता / सह-प्रभाविता $\text{F}_2$ ($1 : 2 : 1$): वर्गों की संख्या $n = 3 \implies df = 3 – 1 =$ $2$
   • द्विसंकर $\text{F}_2$ ($9 : 3 : 3 : 1$) या द्विसंकर टेस्टक्रॉस ($1 : 1 : 1 : 1$): वर्गों की संख्या $n = 4 \implies df = 4 – 1 =$ $3$
   • त्रिसंकर $\text{F}_2$ ($27:9:9:9:3:3:3:1$): वर्गों की संख्या $n = 8 \implies df = 8 – 1 =$ $7$
3. सार्थकता स्तर (Level of Significance — $\alpha = 0.05$ या $5\%$): जीवविज्ञान एवं कृषि अनुसंधान में मानक रूप से $5\%$ सार्थकता स्तर ($P = 0.05$) का उपयोग किया जाता है। इसका अर्थ है कि यदि शून्य परिकल्पना सत्य है, तो $100$ में से $95$ बार हमारा परिकलित $\chi^2$ मान सारणी के क्रांतिक मान (Critical / Tabulated $\chi^2$ value) से कम आएगा और केवल $5\%$ संभावना है कि संयोगवश यह मान क्रांतिक मान से अधिक चला जाए।
4. निर्णय नियम (Decision Rule for Accepting or Rejecting $H_0$):
   • स्थिति 1: यदि परिकलित $\chi^2 \le$ सारणीबद्ध $\chi^2_{0.05}$ (या $P > 0.05$): अंतर असार्थक (Non-significant) है। अतः शून्य परिकल्पना ($H_0$) स्वीकार की जाती है। इसका अर्थ है कि प्रेक्षित आँकड़े मेंडेलियन अनुपात में अच्छी तरह फिट बैठते हैं (Good fit) और विचलन केवल संयोगवश है।
   • स्थिति 2: यदि परिकलित $\chi^2 >$ सारणीबद्ध $\chi^2_{0.05}$ (या $P < 0.05$): अंतर सार्थक (Statistically Significant) है। अतः शून्य परिकल्पना ($H_0$) अस्वीकार (Reject) की जाती है। इसका अर्थ है कि आँकड़े प्रस्तावित अनुपात का पालन नहीं करते (जैसे दो जीनों के बीच स्वतंत्र अपव्यूहन न होकर सहलग्नता है)।

2.3 सातत्य के लिए येट्स का संशोधन (Yates’ Correction for Continuity — Frank Yates, 1934)

काई-स्क्वायर बंटन एक सतत (Continuous) प्रायिकता वक्र है, जबकि आनुवंशिक गिनतियाँ विविक्त (Discrete whole numbers) होती हैं। ब्रिटिश सांख्यिकीविद् फ्रैंक येट्स (Frank Yates, 1934) ने दिखाया कि जब स्वातंत्र्य कोटि $df = 1$ हो (अर्थात् केवल 2 वर्ग हों, जैसे $3:1$ या $1:1$) और किसी वर्ग की प्रत्याशित आवृत्ति कम (सामान्यतः $E < 5\text{ या }10$) हो, तो साधारण सूत्र वास्तविक से थोड़ा अधिक $\chi^2$ मान देता है। इसे सुधारने के लिए प्रत्येक वर्ग के निरपेक्ष अंतर $|O – E|$ में से वर्ग करने से पूर्व $0.5$ घटाया जाता है:

2.4 काई-स्क्वायर परीक्षण की अनिवार्य शर्तें एवं सीमाएँ (Conditions & Limitations)

1. यह परीक्षण केवल मूल संख्यात्मक गिनतियों (Raw numerical frequencies) पर ही लगाया जा सकता है; प्रतिशत ($\%$) या अनुपातों पर सीधे $\chi^2$ की गणना कभी नहीं करनी चाहिए।
2. सभी प्रेक्षण एक-दूसरे से स्वतंत्र होने चाहिए और प्रेक्षित मानों का योग कुल प्रत्याशित मानों के योग के बराबर ($\sum O = \sum E = N$) होना चाहिए (अर्थात् $\sum (O – E) = 0$)।
3. प्रत्येक वर्ग में प्रत्याशित संख्या ($E$) कम से कम $5$ से अधिक ($E \ge 5$) होनी चाहिए और कुल प्रतिदर्श आकार ($N$) पर्याप्त बड़ा ($N \ge 50$) होना चाहिए।

सारणी 6.1: आनुवंशिक अनुपातों के लिए मानक काई-स्क्वायर ($\chi^2$) क्रांतिक मान सारणी (याद रखने योग्य मान)

सारणी 6.2: प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Rule) बनाम योग नियम (Addition Rule)

1. पादप प्रजनन में प्रायिकता और काई-स्क्वायर परीक्षण का व्यावहारिक उपयोग

• न्यूनतम $\text{F}_2$ समष्टि आकार का निर्धारण (Minimum $\text{F}_2$ Population Size in Breeding Plots): जब एक पादप प्रजनक गेहूँ या सरसों में दो या तीन अप्रभावी जीनों ($aabbcc$, प्रायिकता $q = \frac{1}{64}$) को एक ही पौधे में संयोजित करना चाहता है, तो $95\%$ या $99\%$ विश्वास के साथ कम से कम एक वांछित पुनर्योजी पौधा प्राप्त करने के लिए खेत में कितने $\text{F}_2$ पौधे उगाने होंगे, इसकी गणना प्रायिकता सूत्र $1 – (1 – q)^N \ge 0.95$ से की जाती है।
• सहलग्नता बनाम स्वतंत्र अपव्यूहन की पहचान (Linkage Detection): पादप प्रजनन में जब दो लक्षणों (जैसे—चने में उकठा प्रतिरोध और बीज का आकार) के द्विसंकर टेस्टक्रॉस का डेटा प्राप्त होता है, तो $1:1:1:1$ अनुपात पर $\chi^2$ परीक्षण लगाया जाता है। यदि $\chi^2$ सार्थक आता है, तो सिद्ध हो जाता है कि दोनों जीन एक ही गुणसूत्र पर सहलग्न (Linked) हैं।

2. परीक्षा हेतु चरणबद्ध हल किए गए संख्यात्मक प्रश्न (Step-by-Step Solved Numericals)

प्रत्येक प्रश्न का सही उत्तर और उसकी वैज्ञानिक व्याख्या देखने के लिए “उत्तर एवं व्याख्या देखें” पर क्लिक करें:

B. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (Fill in the Blanks — 10 Questions)

1. किसी भी घटना की प्रायिकता का मान सदैव ________ से लेकर ________ के बीच होता है।
2. यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता $p$ है, तो उसके घटित न होने की प्रायिकता $q =$ ________ होती है।
3. दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता उनके व्यक्तिगत प्रायिकताओं के ________ के बराबर होती है।
4. दो परस्पर अपवर्जी घटनाओं में से किसी एक या दूसरी के घटित होने की प्रायिकता उनके ________ के बराबर होती है।
5. काई-स्क्वायर ($\chi^2$) समंजन सुष्ठुता परीक्षण का प्रतिपादन वर्ष 1900 में ________ ने किया था।
6. काई-स्क्वायर परीक्षण का गणितीय सूत्र $\chi^2 =$ ________ होता है।
7. एक द्विसंकर परीक्षार्थ संकरण ($1:1:1:1$) में काई-स्क्वायर परीक्षण के लिए स्वातंत्र्य कोटि ($df$) का मान ________ होता है।
8. $df = 1$ के लिए $5\%$ सार्थकता स्तर ($P = 0.05$) पर सारणीबद्ध क्रांतिक $\chi^2$ मान ________ होता है।
9. सातत्य के लिए येट्स के संशोधन में प्रत्येक वर्ग के $|O – E|$ मान में से वर्ग करने से पूर्व ________ घटाया जाता है।
10. किसी काई-स्क्वायर सारणी में सभी वर्गों के विचलनों का बीजगणितीय योग $\sum (O – E)$ सदैव ________ होता है।

C. अति लघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Questions — 10 Questions with Model Answers)

1. प्रायिकता (Probability) को परिभाषित कीजिए।
   उत्तर: कुल समान रूप से संभावित परिणामों ($N$) में से किसी विशिष्ट अनुकूल घटना ($m$) के घटित होने के अनुपात ($P = m/N$) को उस घटना की प्रायिकता कहते हैं।
2. स्वतंत्र घटनाएँ (Independent events) किसे कहते हैं?
   उत्तर: जब एक घटना का घटित होना दूसरी घटना के घटित होने की संभावना को किसी भी प्रकार प्रभावित नहीं करता, तो उन्हें स्वतंत्र घटनाएँ कहते हैं।
3. परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually exclusive events) क्या हैं?
   उत्तर: वे दो घटनाएँ जो एक ही परीक्षण में एक साथ घटित नहीं हो सकतीं (एक का घटित होना दूसरी के घटित होने को असंभव बना देता है), परस्पर अपवर्जी घटनाएँ कहलाती हैं।
4. शून्य परिकल्पना (Null Hypothesis — $H_0$) से आप क्या समझते हैं?
   उत्तर: वह सांख्यिकीय मान्यता जिसके अनुसार प्रेक्षित ($O$) और प्रत्याशित ($E$) मानों में कोई वास्तविक अंतर नहीं होता और जो अंतर दिखता है वह केवल संयोगवश होता है।
5. स्वातंत्र्य कोटि (Degrees of freedom — $df$) का सूत्र लिखिए।
   उत्तर: समंजन सुष्ठुता परीक्षण में $df = n – 1$ (जहाँ $n =$ कुल लक्षणप्ररूपी या जीनप्ररूपी वर्गों की संख्या)।
6. येट्स का सातत्य संशोधन (Yates’ correction) कब और क्यों किया जाता है?
   उत्तर: जब स्वातंत्र्य कोटि $df = 1$ हो और प्रतिदर्श छोटा हो, तब सतत $\chi^2$ वक्र से विविक्त आनुवंशिक आँकड़ों के आकलन की त्रुटि सुधारने हेतु $|O-E|$ में से $0.5$ घटाया जाता है।
7. एकसंकर जीनप्ररूपी अनुपात ($1 TT : 2 Tt : 1 tt$) के लिए स्वातंत्र्य कोटि ($df$) कितनी होगी?
   उत्तर: चूँकि यहाँ 3 वर्ग हैं ($n=3$), अतः $df = 3 – 1 = 2$।
8. प्रथम प्रकार की त्रुटि (Type-I Error) क्या है?
   उत्तर: जब कोई शून्य परिकल्पना ($H_0$) वास्तव में सत्य हो, फिर भी सांख्यिकीय परीक्षण के आधार पर उसे अस्वीकार कर दिया जाए, तो इसे प्रथम प्रकार की त्रुटि कहते हैं।
9. $AaBbCcDd$ जीनप्ररूप वाले पौधे के स्व-परागण से $aabbccdd$ पौधा मिलने की प्रायिकता क्या होगी?
   उत्तर: $\left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256}$।
10. काई-स्क्वायर परीक्षण की कोई दो अनिवार्य शर्तें लिखिए।
    उत्तर: (1) आँकड़े प्रतिशत में न होकर वास्तविक संख्याओं (Raw counts) में होने चाहिए, तथा (2) किसी भी वर्ग की प्रत्याशित आवृत्ति $5$ से कम ($E < 5$) नहीं होनी चाहिए।

D. लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Questions — 8 Questions, 2–5 Marks)

E. अंतर स्पष्ट कीजिए (Differentiate Between — 3 Comparison Tables)

(नोट: प्रश्न 1 ‘गुणन नियम बनाम योग नियम’ की तुलना ऊपर Section 8 — सारणी 6.2 में दी जा चुकी है। अन्य दो प्रमुख तुलनाएँ नीचे दी गई हैं):

2. स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events) बनाम परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually Exclusive Events)

3. प्रथम प्रकार की त्रुटि (Type-I Error) बनाम द्वितीय प्रकार की त्रुटि (Type-II Error)

F. टिप्पणी / व्याख्या कीजिए (Explain / Describe Questions — 5 Questions)

1. पादप प्रजनन में न्यूनतम $\text{F}_2$ समष्टि आकार निर्धारण में प्रायिकता का अनुप्रयोग: ($1 – (1-q)^N$ सूत्र से दुर्लभ समयुग्मजी अप्रभावी पौधे की प्राप्ति समझाएँ।)
2. पास्कल का त्रिभुज और आनुवंशिक अनुपातों में इसका उपयोग: ($(p+q)^n$ के गुणांकों का सारणीबद्ध विवरण दें।)
3. काई-स्क्वायर परीक्षण से सहलग्नता (Linkage) का पता कैसे लगाया जाता है? ($1:1:1:1$ द्विसंकर टेस्टक्रॉस पर उच्च $\chi^2$ मान और $H_0$ की अस्वीकृति स्पष्ट करें।)
4. स्वातंत्र्य कोटि ($df$) की संकल्पना और विभिन्न मेंडेलियन व प्रबलता अनुपातों में इसका मान: (सारणी 6.1 के आधार पर व्याख्या करें।)
5. काई-स्क्वायर सूत्र में $(O – E)$ का वर्ग क्यों किया जाता है? (क्योंकि बिना वर्ग किए धनात्मक और ऋणात्मक विचलनों का योग $\sum(O-E)$ सदैव शून्य हो जाता है।)

G. दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Questions — 5 Questions, 8–15 Marks)

1. [परिभाषा / 1 अंक पैटर्न]: शून्य परिकल्पना (Null hypothesis), स्वातंत्र्य कोटि (Degrees of freedom) एवं येट्स संशोधन (Yates’ correction) को परिभाषित कीजिए।
2. [लघु संख्यात्मक प्रश्न / 3 अंक पैटर्न]: $AaBbCc \times AaBbCc$ संकरण से (i) $aabbcc$ जीनप्ररूप तथा (ii) $A\_B\_cc$ लक्षणप्ररूप प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (उत्तर: (i) $\frac{1}{64}$, (ii) $\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$)।
3. [अंतर स्पष्ट कीजिए / 4 अंक पैटर्न]: प्रायिकता के गुणन नियम एवं योग नियम में उदाहरण सहित अंतर स्पष्ट कीजिए।
4. [काई-स्क्वायर संख्यात्मक प्रश्न / 5 अंक पैटर्न]: मटर के एकसंकर संकरण की $\text{F}_2$ पीढ़ी में 400 पौधों में से 310 बैंगनी पुष्प वाले और 90 सफेद पुष्प वाले पौधे प्राप्त हुए। $\chi^2$ परीक्षण द्वारा जाँच कीजिए कि क्या ये आँकड़े $3:1$ अनुपात में फिट बैठते हैं? ($df=1$ पर $\chi^2_{0.05} = 3.841$)। (संकेत: $E_1 = 300, E_2 = 100 \implies \chi^2 = \frac{100}{300} + \frac{100}{100} = 0.333 + 1.00 = 1.333 < 3.841 \implies H_0$ स्वीकार)।
5. [निबंधात्मक प्रश्न / 10 अंक पैटर्न]: आनुवंशिक प्रयोगों में काई-स्क्वायर ($\chi^2$) परीक्षण की उपयोगिता, कार्यविधि और सीमाओं का वर्णन कीजिए तथा एक काल्पनिक द्विसंकर आँकड़े की सहायता से $9:3:3:1$ अनुपात की समंजन सुष्ठुता का परीक्षण करके दिखाइए।